Temat: Rozwiązywanie układów równań.

 

Zadanie 1

Rozwiąż układ równań stosując Solver

x + y = 2

2x + 6y = 3

 

Rozwiązanie:

Przygotowanie arkusza polega na:

  • ustaleniu komórek z niewiadomymi czyli x, y np. komórki B5, C5 (komórki oznaczone kolorem żółtym) - ich opis wstawić do komórek B4, C4
  • ustaleniu komórek zawierających lewą stronę pierwszego równania opisane jako L1=i lewą stronę drugiego równania opisane jako L2= odpowiednio w komórkach B6, B7 przy czym ich opis podać w komórkach odpowiednio A6, A7
  • ustaleniu komórki zawierającej sumę prawych stron obu równań opisanej jako P1+P2= w komórce B8 (komórka oznaczona kolorem czerwonym), opis tej komórki podać w komórce A8

 

Komórki B5, C5 pozostają puste – program Solver wpisze do nich wyniki

Do komórki B6 (oznaczonej etykietą: L1=) należy wpisać lewą stronę pierwszego równania, czyli formułę: = B5 + C5

Do komórki B7 (oznaczonej etykietą: L2=) należy wpisać lewą stronę drugiego równania,

czyli formułę: = 2*B5 + 6*C5

Do komórki B8 (P1+P2=) należy wpisać formułę = B6+B7 (suma prawych stron równań jest równa sumie lewych stron równań)

Solver

Po takim przygotowaniu arkusza należy uruchomić program Solver i wprowadzić odpowiednie zapisy:

Ustaw cel – adres komórki zawierającej formułę – w tym zadaniu komórkę B8 (komórka zaznaczona kolorem czerwonym)

Na Wartość: 5 (suma prawych stron obu równań)

Przez zmienianie komórek zmiennych – adresy komórek, w których pojawi się rozwiązanie zadania czyli poszukiwane x, y (komórki:B5:C5 - zaznaczone kolorem żółtym)

Podlegających ograniczeniom – używając przycisku Dodaj należy wstawić warunki zadania poprzez określenie Odwołania do komórki, operatora i ograniczenia czyli:

Odwołanie do komórki

Operator

Ograniczenie

B6

(lewa strona pierwszego równania)

=

2

B7

(lewa strona drugiego równania)

=

3

Uwaga.

Pole Ustaw wartości nieujemne dla zmiennych bez ograniczeń powinno pozostać niezaznaczone

Przyciskiem Rozwiąż program Solver po znalezieniu rozwiązania wpisze wyniki do komórek zmiennych czyli komórek B5:C5

 

Rozwiązanie:  x = 2,25,  y = – 0,25

 

Zadanie 2

Rozwiązywanie równań metodą wyznacznikową

Na lekcjach matematyki poznaliście metodę wyznacznikową rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Oczywiście można też rozwiązywać układ trzech równań z trzema niewiadomymi, układ czterech równań z czterema niewiadomymi itd. Problemem staje się tylko obliczenie wartości wyznaczników.

Problemu tego nie ma przy wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego. Wystarczy przygotować dane i zastosować odpowiecnią funkcję, a program wykona za nas obliczenia.

Dla przypomnienia: opis metody na przykładzie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi https://www.matemaks.pl/metoda-wyznacznikow.html

Dla zainteresowanych: obliczenie wyznacznika 3 stopnia regułą Sarrusa https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa

 

Rozwiąż metodą wyznacznikową układ równań w arkuszu kalkulacyjnym Excel:

x – z + y – 11 = 0

x – 1 + z = y

-5 – x + y + z = 0

Przed rozwiązaniem układ równań należy uporządkować: niewiadome w odpowiedniej kolejności po lewej a wyrazy wolne po prawej stronie każdego równania.

x + y – z = 11

x – y + z = 1

-x + y + z = 5

UWAGA !

Jeżeli równanie rozpoczyna się od znaku „-” (minus) np. - x + y + z = -5  wówczas, aby poprawnie wpisać takie równnie do komórki excela należy przed wpisaniem ustawić format komórki na tekstowy. W tym celu należy zaznaczyć komórkę, wybrać formatowanie komórek – np. skrótem klawiszowym  CTRL+1 i wybrać zakładkę Liczby, kategorię Tekstowe i zatwierdzić OK)

lub dużo prościej rozpocząć pisanie w komórce od znaku apostrof np. ’- x + y + z = -5

 

Metoda wyznacznikowa polega na utworzeniu macierzy (tablica współczynników) i obliczeniu wyznaczników W, Wx, Wy, Wz.

W programie Excel do obliczenia wartości wyznaczników można skorzystać z funkcji =wyznacznik.macierzy(tablica_współczynników)

Wyznacznik W oblicza się na podstawie tablicy współczynników stojących przy zmiennych x, y, z. Wyznacznik Wx oblicza się podobnie  jak W z tą różnicą, że współczynniki stojące przy x (pierwsza kolumna) zastąpione są przez wyrazy wolne oznaczone kolorem czerwonym. Podobnie oblicza się wyznacznik Wy (współczynniki stojące przy y – w drugiej kolumnie – oznaczone kolorem czerwonym zastąpione są przez wyrazy wolne) i wyznacznik Wz (współczynniki stojące przy z – w trzeciej kolumnie – oznaczone kolorem czerwonym zastąpione są przez wyrazy wolne).

Po obliczeniu wyznaczników należy określić czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny.

Jeżeli W ≠ 0 układ jest oznaczony i posiada jedno rozwiązanie: x = Wx/W, y = Wy/W, z = Wz/W

Jeżeli W=0 i Wx=0 i Wy=0 i Wz=0 układ równań jest nieoznaczony i posiada nieskończenie wiele rozwiązań

Jeżeli W = 0 i Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 lub Wz ≠ 0 układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań

 

Rozwiązanie w arkuszu kalkulacyjnym:

Należy zbudować tablice współczynników niezbędne do obliczenia wyznaczników:

W – komórki B5:D7

Wx – komórki B9:D11

Wy – komórki B13:D15

Wz – komórki B17:D19

 

Następnie oblicza się wartości wyznaczników:

Wyznacznik W w komórce G6 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B5:D7)

Wyznacznik Wx w komórce G10 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B9:D11)

Wyznacznik Wy w komórce G14 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B13:D15)

Wyznacznik Wz w komórce G18 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B17:D19)

Kolejnym krokiem jest sprawdzenie czy układ jest oznaczony, nie oznaczony czy sprzeczny: można skorzystać z funkcji =jeżeli(…)

Jeżeli układ jest oznaczony oblicza się wartości:

x = Wx/W w komórce D24 ze wzoru: =G10/G6

y = Wy/W w komórce D24 ze wzoru: =G14/G6

z = Wz/W  w komórce D24 ze wzoru: =G18/G6

Wyznaczniki

Rozwiązanie: x=6, y=8, z=3

 

Sprawdzenie wyników

Kontrola poprawności wyników polega na wstawieniu do pierwotnych równań obliczonych wartości x, y, z i wykonaniu obliczeń.

Wyniki są prawidłowe jeżeli we wszystkich równaniach lewa strona jest równa prawej.

 

Ćwiczenia do samodzielnego wykonania

Rozwiąż układy równań w arkuszu kalkulacyjnym Excel stosując Solver oraz metodę wyznacznikową.

Sprawdź poprawność wyników.

ćw. 1

2x = 12 – 3y
y + 4x -14 = 0

 

ćw. 2

2x + 3y = 2
-6x – 9y = -6

 

ćw. 3

2x +5y -5 = -3z
4x – 4 +5z = -2y
3x + 8y +4z = 9