Temat: Rozwiązywanie układów równań.
Zadanie 1
Rozwiąż układ równań stosując Solver
x + y = 2
2x + 6y = 3
Rozwiązanie:
Przygotowanie arkusza polega na:
- ustaleniu komórek z niewiadomymi czyli x, y np. komórki B5, C5 (komórki oznaczone kolorem żółtym) - ich opis wstawić do komórek B4, C4
- ustaleniu komórek zawierających lewą stronę pierwszego równania opisane jako L1=i lewą stronę drugiego równania opisane jako L2= odpowiednio w komórkach B6, B7 przy czym ich opis podać w komórkach odpowiednio A6, A7
- ustaleniu komórki zawierającej sumę prawych stron obu równań opisanej jako P1+P2= w komórce B8 (komórka oznaczona kolorem czerwonym), opis tej komórki podać w komórce A8
Komórki B5, C5 pozostają puste – program Solver wpisze do nich wyniki
Do komórki B6 (oznaczonej etykietą: L1=) należy wpisać lewą stronę pierwszego równania, czyli formułę: = B5 + C5
Do komórki B7 (oznaczonej etykietą: L2=) należy wpisać lewą stronę drugiego równania,
czyli formułę: = 2*B5 + 6*C5
Do komórki B8 (P1+P2=) należy wpisać formułę = B6+B7 (suma prawych stron równań jest równa sumie lewych stron równań)
Po takim przygotowaniu arkusza należy uruchomić program Solver i wprowadzić odpowiednie zapisy:
Ustaw cel – adres komórki zawierającej formułę – w tym zadaniu komórkę B8 (komórka zaznaczona kolorem czerwonym)
Na Wartość: 5 (suma prawych stron obu równań)
Przez zmienianie komórek zmiennych – adresy komórek, w których pojawi się rozwiązanie zadania czyli poszukiwane x, y (komórki:B5:C5 - zaznaczone kolorem żółtym)
Podlegających ograniczeniom – używając przycisku Dodaj należy wstawić warunki zadania poprzez określenie Odwołania do komórki, operatora i ograniczenia czyli:
Odwołanie do komórki |
Operator |
Ograniczenie |
B6 (lewa strona pierwszego równania) |
= |
2 |
B7 (lewa strona drugiego równania) |
= |
3 |
Uwaga.
Pole Ustaw wartości nieujemne dla zmiennych bez ograniczeń powinno pozostać niezaznaczone
Przyciskiem Rozwiąż program Solver po znalezieniu rozwiązania wpisze wyniki do komórek zmiennych czyli komórek B5:C5
Rozwiązanie: x = 2,25, y = – 0,25
Zadanie 2
Rozwiązywanie równań metodą wyznacznikową
Na lekcjach matematyki poznaliście metodę wyznacznikową rozwiązywania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Oczywiście można też rozwiązywać układ trzech równań z trzema niewiadomymi, układ czterech równań z czterema niewiadomymi itd. Problemem staje się tylko obliczenie wartości wyznaczników.
Problemu tego nie ma przy wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego. Wystarczy przygotować dane i zastosować odpowiecnią funkcję, a program wykona za nas obliczenia.
Dla przypomnienia: opis metody na przykładzie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi https://www.matemaks.pl/metoda-wyznacznikow.html
Dla zainteresowanych: obliczenie wyznacznika 3 stopnia regułą Sarrusa https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa
Rozwiąż metodą wyznacznikową układ równań w arkuszu kalkulacyjnym Excel:
x – z + y – 11 = 0
x – 1 + z = y
-5 – x + y + z = 0
Przed rozwiązaniem układ równań należy uporządkować: niewiadome w odpowiedniej kolejności po lewej a wyrazy wolne po prawej stronie każdego równania.
x + y – z = 11
x – y + z = 1
-x + y + z = 5
UWAGA !
Jeżeli równanie rozpoczyna się od znaku „-” (minus) np. - x + y + z = -5 wówczas, aby poprawnie wpisać takie równnie do komórki excela należy przed wpisaniem ustawić format komórki na tekstowy. W tym celu należy zaznaczyć komórkę, wybrać formatowanie komórek – np. skrótem klawiszowym CTRL+1 i wybrać zakładkę Liczby, kategorię Tekstowe i zatwierdzić OK)
lub dużo prościej rozpocząć pisanie w komórce od znaku apostrof np. ’- x + y + z = -5
Metoda wyznacznikowa polega na utworzeniu macierzy (tablica współczynników) i obliczeniu wyznaczników W, Wx, Wy, Wz.
W programie Excel do obliczenia wartości wyznaczników można skorzystać z funkcji =wyznacznik.macierzy(tablica_współczynników)
Wyznacznik W oblicza się na podstawie tablicy współczynników stojących przy zmiennych x, y, z. Wyznacznik Wx oblicza się podobnie jak W z tą różnicą, że współczynniki stojące przy x (pierwsza kolumna) zastąpione są przez wyrazy wolne oznaczone kolorem czerwonym. Podobnie oblicza się wyznacznik Wy (współczynniki stojące przy y – w drugiej kolumnie – oznaczone kolorem czerwonym zastąpione są przez wyrazy wolne) i wyznacznik Wz (współczynniki stojące przy z – w trzeciej kolumnie – oznaczone kolorem czerwonym zastąpione są przez wyrazy wolne).
Po obliczeniu wyznaczników należy określić czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny.
Jeżeli W ≠ 0 układ jest oznaczony i posiada jedno rozwiązanie: x = Wx/W, y = Wy/W, z = Wz/W
Jeżeli W=0 i Wx=0 i Wy=0 i Wz=0 układ równań jest nieoznaczony i posiada nieskończenie wiele rozwiązań
Jeżeli W = 0 i Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 lub Wz ≠ 0 układ równań jest sprzeczny i nie ma rozwiązań
Rozwiązanie w arkuszu kalkulacyjnym:
Należy zbudować tablice współczynników niezbędne do obliczenia wyznaczników:
W – komórki B5:D7
Wx – komórki B9:D11
Wy – komórki B13:D15
Wz – komórki B17:D19
Następnie oblicza się wartości wyznaczników:
Wyznacznik W w komórce G6 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B5:D7)
Wyznacznik Wx w komórce G10 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B9:D11)
Wyznacznik Wy w komórce G14 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B13:D15)
Wyznacznik Wz w komórce G18 przy użyciu formuły =wyznacznik.macierzy(B17:D19)
Kolejnym krokiem jest sprawdzenie czy układ jest oznaczony, nie oznaczony czy sprzeczny: można skorzystać z funkcji =jeżeli(…)
Jeżeli układ jest oznaczony oblicza się wartości:
x = Wx/W w komórce D24 ze wzoru: =G10/G6
y = Wy/W w komórce D24 ze wzoru: =G14/G6
z = Wz/W w komórce D24 ze wzoru: =G18/G6
Rozwiązanie: x=6, y=8, z=3
Sprawdzenie wyników
Kontrola poprawności wyników polega na wstawieniu do pierwotnych równań obliczonych wartości x, y, z i wykonaniu obliczeń.
Wyniki są prawidłowe jeżeli we wszystkich równaniach lewa strona jest równa prawej.
Ćwiczenia do samodzielnego wykonania
Rozwiąż układy równań w arkuszu kalkulacyjnym Excel stosując Solver oraz metodę wyznacznikową.
Sprawdź poprawność wyników.
ćw. 1
2x = 12 – 3y
y + 4x -14 = 0
ćw. 2
2x + 3y = 2
-6x – 9y = -6
ćw. 3
2x +5y -5 = -3z
4x – 4 +5z = -2y
3x + 8y +4z = 9